A Three-Level Parallelisation Scheme and Application to the Nelder-Mead Algorithm

We consider a three-level parallelisation scheme. The second and third levels define a classical two-level parallelisation scheme and some load balancing algorithm is used to distribute tasks among processes. It is well-known that for many applications the efficiency of parallel algorithms of the second and third level starts to drop down after some critical parallelisation degree is reached. This weakness of the two-level template is addressed by introduction of one additional parallelisation level. As an alternative to the basic solver some new or modified algorithms are considered on this level. The idea of the proposed methodology is to increase the parallelisation degree by using less efficient algorithms in comparison with the basic solver. As an example we investigate two modified Nelder-Mead methods. For the selected application, a few partial differential equations are solved numerically on the second level, and on the third level the parallel Wang's algorithm is used to solve systems of linear equations with tridiagonal matrices. A greedy workload balancing heuristic is proposed, which is oriented to the case of a large number of available processors. The complexity estimates of the computational tasks are model-based, i.e. they use empirical computational data

Skysčio judėjimo elastingame vamzdyje matematinio modelio asimptotinė analizė

In this paper the model of the fluid flow in elastic pipe is studied. This model is described by the system of hyperbolic equations. The asymptotic analysis of these equations allows to investigate the conditions of the interaction of waves in the resonance case. The averaged system of integrodifferential equations is constructed to find the uniformly valid asymptotic solution in the long time interval and large interval of the dimensional variable.    Darbe nagrinėjamas skysčio judėjimo elastingame vamzdyje matematinis modelis, aprašomas hiperboline lygčių sistema. Atliekama šių lygčių asimptotinė analizė, kuri leidžia periodiniu atveju nustatyti bangų rezonansinės sąveikos atsiradimo sąlygas. Konstruojama suvidurkintoji integralinių diferencialinių lygčių sistema, tolygiai tinkamam ilgame laiko intervale ir dideliame erdvinio kintamojo kitimo intervale, asimptotiniam sprendiniui rasti. &nbsp

Matematika studijuojantiems ekonomiką ir verslą

Universitetų studentams dėstomų matematikos dalykų turinys priklauso nuo studijų krypties ir dažnai turi specifinių ypatumų. Tačiau visais atvejais dėstomos algebros ir matematinės analizės pagrindinės temos, sudarančios visų kitų matematinių disciplinų pamatus. Šias temas sujungiantys matematikos vadovėliai turi skirtingus pavadinimus – aukštoji matematika, tiesinė algebra ir analizinė geometrija, matematinė analizė, diferencialinis ir integralinis skaičiavimas, algebra ir analizė, ir kt. Nepaisant šių pavadinimų gausos, vadovėlių turinys labai panašus ir iš esmės susiformavo jau prieš porą šimtmečių. Kita vertus, matematikos vadovėliai skiriasi dėstymo stiliumi, pateikiamų pavyzdžių bei sprendžiamų uždavinių sunkumu, aiškinimo išsamumu arba atvirkščiai – trumpu, scheminiu aiškinimu

Dujų dinamikos lygčių su pradinėmis ir kraštinėmis sąlygomis tyrimas ir atitinkamos suvidurkintos sistemos konstravimas

In this paper hyperbolic system of the first order gas dynamics PDE with initial and boundary conditions is studied. The aim of the paper is to construct the averaged system of differential equations in order to find the uniformly valid in a large domain asymptotical solution. The averaged system is a new object of asymptotical analysis.Darbe tyrinėjama pirmosios eilės hiperbolinė diferencialinių lygčių sistema su pradinėmis ir kraštinėmis sąlygomis, kuri aprašo dujų dinamikos uždavinio matematinį modelį. Atliekama šios sistemos asimptotinė analizė. Darbo tikslas – sukonstruoti duotąją sistemą atitinkančią suvidurkintų diferencialinių lygčių sistemą tolygiai tinkamam didelėje mažojo parametro atžvilgiu srityje asimptotiniam sprendiniui rasti. Gautoji sistema yra naujas ir mažai ištirtas asimptotinės analizės objektas

Pusiau tiesinės hiperbolinės suvidurkintų lygčių sistemos su periodinėmis kraštinėmis sąlygomis tyrimas

In this paper weakly non-linear hyperbolic system of the first order differential equations with boundary conditions is studied. The averaged system of integro-differential equations along the characteristics is contructed. The aim of this paper is to get the conditions for the existence of classic solution to mentioned averaged problem.Darbe nagrinėjama pirmos eilės diferencialinių lygčių silpnai netiesinė hiperbolinė sistema su kraštinėmis sąlygomis ir konstruojama ją atitinkanti suvidurkintų išilgai charakteristikų integralinių diferencialinių lygčių sistema. Darbo tikslas – nustatyti kada suvidurkintas kraštinis uždavinys turi klasikinį periodinį sprendinį

Apibendrintosios Hirota–Satsuma tipo sistemos asimptotinė analizė

Paper deals with the nonlinear coupled equations of the well known in the literature Hirota–Satsuma type system. The asymptotic analysis of this system, which is based on the principle of two scales and on averaging of weakly nonlinear hyperbolic systems along characteristics is presented in the paper. The asymptotic analysis shown that the system disintegrates on three independent Korteweg–de Vries equations in the non-resonance case, and the system describes an interaction of periodical nonlinear waves in the resonance case.Darbe nagrinėjamos netiesinės susietos banginės lygtys, žinomos literatūroje kaip Hirota-Satsuma tipo sistema. Atliekama šios sistemos asimptotinė analizė, kuri leidžia periodiniu atveju nustatyti bangų rezonansinės sąveikos atsiradimo sąlygas. Analizės pagrindą sudaro kelių mastelių principas ir silpnai netiesinių hiperbolinių sistemų vidurkinimas pagal charakteristikas. Parodyta, kad tokio tipo sistemos atskirais atvejais išsiskaido į nepriklausomas Kortevego–de Vryso (Korteweg–de Vries) lygtis, tačiau rezonansiniu atveju suvidurkinta sistema lieka susieta ir aprašo bangų sąveiką

Asymptotical analysis of some coupled nonlinear wave equations

We consider coupled nonlinear equations modelling a family of travelling wave solutions. The goal of our work is to show that the method of internal averaging along characteristics can be used for wide classes of coupled non-linear wave equations such as Korteweg-de Vries, Klein – Gordon, Hirota – Satsuma, etc. The asymptotical analysis reduces a system of coupled non-linear equations to a system of integro – differential averaged equations. The averaged system with the periodical initial conditions disintegrates into independent equations in non-resonance case. These equations describe simple weakly non-linear travelling waves in the non-resonance case. In the resonance case the integro – differential averaged systems describe interaction of waves and give a good asymptotical approximation for exact solutions

A three-level parallelisation scheme and application to the Nelder-Mead algorithm

We consider a three-level parallelisation scheme. The second and third levels define a classical two-level parallelisation scheme and some load balancing algorithm is used to distribute tasks among processes. It is well-known that for many applications the efficiency of parallel algorithms of these two levels starts to drop down after some critical parallelisation degree is reached. This weakness of the twolevel template is addressed by introduction of one additional parallelisation level. As an alternative to the basic solver some new or modified algorithms are considered on this level. The idea of the proposed methodology is to increase the parallelisation degree by using possibly less efficient algorithms in comparison with the basic solver. As an example we investigate two modified Nelder-Mead methods. For the selected application, a Schro¨dinger equation is solved numerically on the second level, and on the third level the parallel Wang’s algorithm is used to solve systems of linear equations with tridiagonal matrices. A greedy workload balancing heuristic is proposed, which is oriented to the case of a large number of available processors. The complexity estimates of the computational tasks are model-based, i.e. they use empirical computational data